Representação em ponto flutuante

Formato IEEE 754 para ponto flutuante

 
|31|30|29|28|27|26|25|24|23|22|21|....................|0|
|-------------------------------------------------------|
|S |Expoente | Mantissa |
|-------------------------------------------------------|
 1 8 23
 bit bits bits
N=(-1)Sx(1+M)x2E=(-1)S x (1,M)x2E

Precisão simples: 8 bits para expoente e 23 para mantissa
Precisão dupla: 11 bits para expoente e 52 bits para mantissa
Representação em ponto flutuante para expoente, temos 8 bits, o excesso pode ser 2⁷ ou 2⁷-1.
Escolheram o segundo que é 127 para precisão simples e 1023 para precisão dupla.
Exemplo de precisão dupla:
-0,75=-0,11₂=-1,1₂x 2^-1
N=-1,1₂ x 2^-1
N=(-1)^S x (1+M)x 2^(E-1023)=
(-1)¹ x (1+0,10000000000000000000000)x 2^(1022-1023)
1011111111101000000000000000000000000000000000000000000000000000

C0A00000C0A00000 representa que número em ponto flutuante ?
1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000 1100 0000 1010 0000 0000 0000 0000 0000
Sinal = -1
Expoente=E-1023=1034-1023=+11
Mantisssa=0000000000000000000011000000101000000000000000000000
N=-1,0000000000000000000011000000101₂x2⁺¹¹

· Casos especiais:

• E=0(e=-127) e M=0, S=0 ou 1, representa zero
• E=0(e=-127) e M#0, S=0 ou 1, Não normalizado, e=-126, complicado de usar
• E=255(e=-128) e M=0, S=0 ou 1, (+/-)infinito, divisão por zero
• E=255 (e=-128), M#0, S=0 ou 1, NaN, 0/0,infinito -infinito
• -126 =< e <=+127, número normalizado

Menor não-normalizado, 0,00000000000000000000001₂x2^-126=1,0₂x2^-149
Maior não-normalizado, 0,11111111111111111111111₂x2^-126
Menor número normalizado, 1 para expoente e 0 para mantissa, 1,0₂x2^-126 = 10 ^-38

Maior número normalizado, bits do expoente todos em 1, com exceção do bit menos significativo, logo e= 254-127=+127, e mantissa toda com 1s, 1,1111..1₂x2¹²⁷=10³⁸

Valores para o padrão IEEE 754

Sinal	Expoente	Mantissa	Valor do número
0	0000....0000	0000....0000	+0
0	0000....0000	0000....0001 1111....1111	0,M x 2^-126
0	0000....0001 1111....1110	XXXX....XXXX	1,XXXX....XXXX x 2^(e-b)
0	1111....1111	0000....0000	+ infinito
0	1111....1111	0000....0001 1111....1111	NaN
1	0000....0000	0000....0000	-0
1	0000....0000	0000....0001 1111....1111	-0,M x 2^-126
1	0000....0001 1111....1110	XXXX....XXXX	-1,XXXX....XXXX x 2^(e-b)
1	1111....1111	0000....0000	- infinito
1	1111....1111	0000....0001 1111....1111	NaN

Soma em ponto flutuante

Somar 9,999x10¹ com 1,610x10^-1.
Suponha que pode-se utilizar 4 dígitos para o número e 2 dígitos para expoente.

1. Alinha o ponto decimal do número que tem o menor expoente para igualar ao expoente do número que tem maior expoente.
   1,610x10^-1=0,1610x10⁰=0,016x10¹(só pode usar 4 dígitos)
   
   Porque alinha menor com maior ? Pode perder digitos, então melhor perder dígitos menos significativos. Maior chance de resultado ser normalizado.

2.  
3. 1.101 x 2-6, 
4. 1.001001 x 26
5.  .000000000001101 x 26 
6.  1.001001 x 26 
7.  ------------------
8.  1.001001000001101 x 26

9. Soma as mantissas

10.  
11.  9,999
12.  0,016
13. --------
14. 10,015x101

15. Coloca em notação científica normalizada
    10,015x10¹=1,0015x10²
16. Ajusta para número de dígitos possível com arredondamento
    1,0015x10²=1,002x10²
17. Verifica se houve overflow ou underflow (expoente maior ou menor do que é possível ser representado)

Exemplo de adição de números em ponto flutuante em binário:

Somar 0,5₁₀ com -0,4375₁₀

1. Converte para a base 2.
   0,5=0,1x2⁰=1,000x2^-1
   -0,4375=-0,01110x2⁰=-1,110x2^-2
2. Desloca para a direita o número com menor expoente. O número de deslocamentos é igual a diferença entre os expoentes. Se os expoentes são iguais, não há deslocamento.
   -1,110x2^-2=-0,1110x2^-1=-0,111x2^-1
3. Soma os números
   1,000x2^-1+(-0,111x2^-1)=0,001x2^-1
4. Normaliza a soma se necessário
   (ex. resultado igual a 10.__ ou 11.__ deverá sofrer um deslocamento para a direita e um incremento no expoente. Podemos tambem ter um resultado de 0.____ se somarmos um número positivo com negativo. Deverá sofrer um deslocamento para a esquerda e um decremento do expoente.
   0,001x2^-1=0,010x2^-2=0.100x2^-3=1,000x2^-4
5. Para padrão IEEE 754 precisão simples, ocorre overflow se expoente maior que 127 ou underflow se expoente menor que -126 então será gerada uma exceção
6. Trunca resultado para número de bits que pode ser utilizado.
   1,000x2^-4.