Representação em ponto flutuante

Na representação em ponto fixo, a vírgula não é representada, mas assumida em uma posição.
Nas máquinas atuais, utiliza-se a vírgula na posição mais a direita para representar inteiros.
Números fracionários utilizam a representação em ponto flutuante.
Exemplo: 3,141592565
2,71828
1,0 x 10 ^-9
3.155.160.000 = 3,15576 x 10 ⁹
Maior número com 32 bits: 2.147.483.648
Utiliza-se a notação científica:
Um dígito à esquerda do ponto decimal
1,0 x 10 ^{-9, 3,15576} x 10 ⁹
Notação científica normalizada: não possui zero antes da vírgula
0,1 x 10 ^-8, 10,0 x 10 ^-10, não normalizadas
1,0 x 10 ^-9, 1,0 x 10 ^-9, normalizadas
Números binários em notação científica normalizada
(1,0)₂ x 2 ^-1
Representação de um número na base 2 em ponto flutuante
(1,mmmmm)₂ x 2 ^yyy
Vantagens de se usar esta notação:

• Padrão para trocar dados
• Simplifica aritmética pois números padronizados
• Aumenta precisão dos números que podem ser representados porque não desperdiça dígitos.
  Exemplo: 0,000012 x 10 ^-2 = 1,2 x 10 ^-7

O que tem que ser representado ?

 
N = (+/-) 1,mmmmmmm x 2yyyyyyyyy
 Sinal Mantissa Expoente
 
|----------------------------------------|
| S | Expoente |Mantissa |
|----------------------------------------|
1 bit 7 bits 24 bits

Questões:

• Quantos bits utilizar para mantissa e expoente ?
• Qual a representação utilizada para mantissa e expoente? sinal e magnitude, complemento a 2 ?

Exemplo:
Suponha que S=0, positivo, S=1, negativo
Expoente representado em sinal e magnitude
Mantissa em binário
N = (+/-)1,M x 2 ^E
N=+407,375 = (110010111,011)₂=1,M x 2 ^E= 1,10010111011 x 2 ⁺⁸

 
S = 0
E = +8, utilizando-se sinal e magnitude com 7 bits, teremos a
representação: 0001000
M=10010111011 (11 bits) completa para 24 com 0s.
 Sinal Mantissa Expoente
|-------------------------------------------------------|
| 0 | 0001000 |10010111011000000000000000000000000|
|-------------------------------------------------------|
1 bit 7 bits 24 bits





Dado o número em ponto flutuante, qual o decimal a ele associado ?





Exemplo: 04D00000


N = 1,M x 2E
 
0000 0100 1101 0000 0000 0000 0000 0000
S=0, E=+4, M=1101
N=+1,1101 x 24=11101=+29,0

Formato IEEE 754 para ponto flutuante

 
|31|30|29|28|27|26|25|24|23|22|21|....................|0|
|-------------------------------------------------------|
|S |Expoente | Mantissa |
|-------------------------------------------------------|
 1 8 23
 bit bits bits
N=(-1)Sx(1+M)x2E=(-1)S x (1,M)x2E

Precisão simples: 8 bits para expoente e 23 para mantissa
Precisão dupla: 11 bits para expoente e 52 bits para mantissa

Decisões do IEEE 754

• Sinal mais à esquerda para facilitar a comparação com zero, porque em complemento a 2 bit mais significativo é zero para números positivos e 1 para números negativos, então pode-se utilizar instruções que comparem inteiros
• Expoente antes da mantissa porque números com maior expoente são maiores e a representação do inteiro é maior.
  Suponha que temos 3 bits para expoente, 6 para mantissa e 1 para sinal. Se usarmos complemento a 2 para expoente:
  1,0 x 2^-1 = 0111000000
  1,0 x 2⁺¹ = 0001000000
  Comparação de números inteiros não ia funcionar.
  Utiliza-se a notação excesso de N (ou notação deslocada ou biased exponent).
  
  

Representação em excesso

 
Padrao de bits SM C2
 000 0 0
 001 +1 +1
 010 +2 +2
 011 +3 +3
 100 0 -4 
 101 -1 -3
 110 -2 -2
 111  -3 -1 

Utilizando as representações SM e C2 não podemos comparar dois números como inteiros sem sinal.
A representação em excesso permite que possamos comparar o padrão de bits referentes a cada inteiro com sinal, considerando que o padrão de bits representa inteiros sem sinal.
x_bias=x + bias

Exemplo:

 
Padrao de bits ISS Excesso de 2
 000 0 -2
 001 1 -1
 010 2 0
 011 3 +1
 100 4  +2 
 101 5 +3
 110 6 +4
 111 7 +5

Necessita-se definir o número de bits a ser utilizado e o valor de bias.
Escolhendo o bias: Para obter uma distribuição homogênea de valores acima e abaixo de 0, escolhe-se bias igual a 2^n-1 ou ((2^n-1)-1), onde n é o número de bits disponíveis
Dados 4 bits, o valor de bias será 2³=8, de modo que o resultado represente metade de números positivos e metade de negativos.
Exemplo: valor a ser representado= +3, soma com bias +8, resultado 11, cuja representação é 1011
Dada a representação 0110, qual número ele está representando?
0110 = 6 = x + bias = x + 8, x = 6-8=-2

Na notação em escesso, o expoente mais negativo tem a representação 0000...000, e o mais positivo tem a representação 111...11

Com 3 dígitos, excesso ou bias = 2^3-1=4
-4+4=000
-2+4=010
-1+4=011
0+4=100
1+4=101
2+4=110
3+4=111
N=+1,01 x 2^-4=0000010000
N=+1,01 x 2⁺¹=0101010000

Representação em ponto flutuante para expoente, temos 8 bits, o excesso pode ser 2⁷ ou 2⁷-1.
Escolheram o segundo que é 127 para precisão simples e 1023 para precisão dupla.