Números com sinal

Com n dígitos binários, podemos representar 2ⁿ valores diferentes de inteiros sem sinal.
Exemplo: Utilizando-se 3 dígitos:

 
000 0
001 1
010 2
011 3
100 4
101 5
110 6
111 7  

Representações para números com sinal:

• sinal e magnitude
• complemento a um
• complemento a dois

Sinal e magnitude

O bit mais à esquerda é o sinal e os restantes fornecem a magnitude do número.
--------------------
| Sinal | Magnitude |
--------------------
0 para números positivos e 1 para números negativos
Exemplo:
00000101 = +5
10000101 = -5
Faixa de valores com n dígitos: -(2^n-1-1) a + (2^n-1-1).
Para n=4 teremos a faixa -7 a +7
Porque não é utilizado pelos processadores ?

1. duas representações para o zero, por exemplo, 0000 e 1000.
2. processo de adição e subtração complicado

Algoritmo de soma:

1. Verificam-se os sinais dos números e efetua-se uma comparação entre eles
2. Se ambos possuem o mesmo sinal, somam-se as magnitudes e o sinal do resultado é o mesmo das parcelas
3. Se os números possuem sinais diferentes:
• identifica-se a maior das magnitudes e registra-se o seu sinal
• subtrai-se a magnitude menor da maior
• o sinal do resultado é igual ao sinal de maior magnitude

Exemplo utilizando-se 6 bits na base 2:

 
 10 001010
+ 15 001111
-----  --------
+ 25 011001

 
- 18 110010
- 4 100100
----- --------
- 22 110110

 
+ 15 001111
- 4 100100
----- --------
+ 11 001011

 
- 18 110010
+ 10 001010
----- --------
- 8 101000

Algoritmo de subtração:

1. Troca-se o sinal do subtraendo
2. Executa algoritmo de soma

Exemplo: -18 - (+12)= -18 + (-12)

 
- 18 110010
- 12 101100
----- --------
- 30 111110

Custo: 1 elemento para soma e outro para subtração
Velocidade: manipulação de sinal

Representação complemento a 2

Como representar números negativos no sistema decimal com 3 algarismos ?
Divide o sistema em 2, utiliza uma metade para positivos e a outra para negativos.

 
 
|---------------|------------|-------------|-------|--|
000 250 500 750 998 000

Complemento a 10

Positivos são so próprios números: 0 a +499, representação: 0 - 499
Negativos são o complemento a 10 do número positivo
Complemento a base= Bⁿ-N onde n é o número de algarismos que temos para representar um número.
-500=10³-500=1000-500=500
-499 = 1000 -499= 501
-1 = 1000 -1 = 999
Qual a vantagem ? Só precisamos somar números e resultado é sempre representado corretamente.
Exemplo:
-2 +3, Complemento a 10 de -2 = 1000 - 2 =998 e de +3 = 003, somando 998+003=1001, descartando o 1 à esquerda, temos o resultado 001 que é +1 em complemento a 10.
Para subtrair:
A - B = A + (-B)
-3 -5 = -3 + (-5)
-3 = 997 + 995 = 1992, retirando o 1 à esquerda temos o resultado 992 que é negativo e para sabermos o valor fazemos 1000 - x = 992, x = 8, logo resultado = -8.

Complemento a 2

Se número positivo e existem n dígitos para representar o número, d_n-1=0.
Se o número é negativo a representação é 2ⁿ-N onde N é a representação positiva.

 
|---------------|------------|-------------|-------|--|
000 010 100 110 111 000





 
 
 
 

Número 0 só tem 1 representação: 000 positivo e 2³ - 000 = 1000, representação negativa= 000
Exemplo:
Com 3 algarismos:
-4 = 1000 - 100 = 100
-3 = 101
-2 = 110
-1 = 1000 - 001 = 111
0 = 000
+1 = 001
+2 = 010
+3 = 011
Representação de números positivos: 1 a (2^n-1-1)
Representação de números negativos: -1 a (-2^n-1)
Faixa de valores:-2^{n-1 a (2n-1}-1)

Como representar um número em complemento a 2 ?

Se o número é positivo, o bit d_n-1=0 e a magnitude do número é
d_n-2x 2^n-2+d_n-3x 2^n-3+...+d₁x 2¹+d₀2⁰
Exemplo: +7 utilizando-se 4 algarismos é igual a 0111.
Representação de +27 com 8 bits = 00011011
Se o número é negativo:
C₂(-N)=2ⁿ-N, onde N é a representação sem sinal da magnitude do numero negativo.
C₂(-N)=2ⁿ-N=((2ⁿ-1)-N)+1
Mas 2ⁿ-1=011111..11 e 011111..11-N é igual a inverter os bits de N. Logo para achar a representação complemento a 2 de números negativos, inverte-se o número na representação dele positiva e soma-se 1.
Exemplo: -7 utilizando-se 4 algarismos 0111, inverte 1000, soma 1 = 1001
Representação de -27 com 8 bits = inv(00011011) + 1 = 11100100 + 1 = 11100101

Dado um número representado em complemento a 2, o que ele está representando ?

O bit mais significativo é o bit de sinal. Se ele é zero o número é positivo dado por :
N=(d_n-1 d_n-2 ... d₁d₀)
N=d_n-2x 2^n-2+d_n-3x 2^n-3+...+d₁x 2¹+d₀2⁰
Exemplo:
n= 4, N=0111, N=7₁₀, N=0100, N=4₁₀
Se ele é 1 o número que ele representa é negativo. Como achar que número ele representa ?
C₂(C₂(-N))=2ⁿ- (2ⁿ-N) = N
Logo para descobrir a magnitude de um número negativo representado em complemento a 2, inverte-se o número na representação dele sem sinal e soma-se 1.
Exemplo:
O que representa 00011011 ? +27
O que representa 11100101 ? - inv(11100101)+1= -00011011 = -27

Outra maneira de ver:
2ⁿ+ (-N)= d_n-1x2^n-1+d_n-2x2^n-2+...+d₁2¹+d₀2⁰
Mas d_n-1=1, logo (-N)= -2ⁿ+2^n-1+d_n-2x2^n-2+...+d₁2¹+d₀2⁰= 2^n-1(-2¹+1)+d_n-2x2^n-2+...+d₁2¹+d₀2⁰= 2^n-1(-1)+d_n-2x2^n-2+...+d₁2¹+d₀2⁰
Exemplo: 1001 = -8 +1 = -7

Soma e subtração em Complemento a 2

Soma: N1 + N2
Subtração: N1-N2 = N1+(-N2) e joga fora o vai um
Exemplo: Somar +11 com +21

 
+11 00001011
+21 00010101
----------------------
+32 00100000
 
+21 00010101
-11 00001011 11110100+1=11110101
-----------------------------------------
+10  100001010
 joga fora o ultimo 1

Subtrair +21 de +11

 
+11 - (+21)=+11 + (-21)
+11 00001011
-21 00010101 = 11101010 +1 = 11101011
-------------------------------------------
-10  11110110

Overflow

Overflow ocorre quando o número não pode ser representado com o número de bits disponível.
Só ocorrerá overflow quando estivermos somando dois números de mesmo sinal.

Se temos 3 bits para representar números em complemento a 2, podemos representar os seguintes inteiros com sinal:

 
011 +3
010 +2
001 +1
000 0
111 -1
110 -2
101 -3
100 -4 

Menor número negativo = -2^3-1=-4
Maior número positivo = 2^3-1-1=+3

Soma: N1+N2

Primeiro caso: N1>0, N2>0:

 
  00
+2 010 
+1 001
-----------------
+3 011 OK
 
 01
+3 0011
+1 001
-----------------
-4 100 Estouro (overflow)
 

Segundo caso: N1<0, N2>0:

 11
-1 111
+2 010
-----------------
+1 001 OK
 
 00
-2 110
+1 001
-----------------
-1 111 OK

Terceiro caso: N1<0, N2<0:

 11
-1 111
-2 110
-----------------
-3 101 OK
 
 10
-1 111
-4 100
-----------------
+3 011 Estouro (overflow)
 

A=(a_n-1a_n-2...a₀)
B=(b_n-1b_n-2...b₀)

 
cn cn-1
 an-1 ..... a0
+
 bn-1 ..... b0





an-1 bn-1 cn-1 | Overflow ? | cn# cn-1 ?
0 0 0 | Não | Não
0 0 1 | Sim | Sim
0 1 0 | Não | Não
0 1 1 | Não | Não
1 0 0 | Não | Não
1 0 1 | Não | Não
1 1 0 | Sim | Sim
1 1 1 | Não | Não

Então se c_n # c_n-1, temos overflow !

Representação de caracteres

Um caracter deve ser representado utilizando-se um padrão de bits.
Vários dispositivos de entrada e saída trabalham com 8 bits.
Um código padrão denominado ASCII (American Standard for Computer Information Interchange> define um padrão de seqüência diferente para cada caracter.
Exemplo:
0100 0001 é 41_hex ou 65₁₀ e representa o caracter 'A'
0100 0010 é 42_hex ou 66₁₀ e representa o caracter 'B'
Uma propriedade deste código é que se padrões de bits são comparados, então 'A' <'B', o que ajuda a ordenar elementos em ordem alfabética.
Note que 'a'(61_hex) é diferente de 'A' (41_hex)
'8' (38_hex) é diferente do inteiro 8
representação do inteiro 8 em complemento a 2: 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000
Representação ASCII do caracter '8': 0011 1000
Representação ASCII do caracter '0' é 48 (decimal) ou 30 (hex)
Representação ASCII do caracter '9' é 57 (decimal) ou 39 (hex)
Como traduzir um string de caracteres para um inteiro ?
Exemplo: '354'
Lê '3'
Traduz '3' para 3 (subtrai de 48)
inteiro= 0 *10 + 3 = 3
Lê '5'
Traduz '5' para 5 (subtrai de 48)
inteiro= 3 *10 + 5 = 35
Lê '4'
Traduz '4' para 4 (subtrai de 48)
inteiro= 35 *10 + 4 = 354
Como traduzir um inteiro para string de caracteres ?
Exemplo: 354
Verifica quantos caracteres existem na base desejada (no caso 3)
Inicia com base^{(no. caracteres - 1)}, (10^3-1)=100
354 div 100, dá 3
Traduz 3 para '3' (soma 48) e imprime
354 mod 100, é 54
100/10=10
54 div 10, dá 5
Traduz 5 para '5' (soma 48) e imprime
54 mod 10, é 4
10/10=1
4 div 1, dá 4
Traduz 4 para '4' (soma 48) e imprime
4 mod 1, é 0
1/10=0, então acabou