Bases e conversão entre elas

Notação posicional: a posição dos algarismos ou dígitos determina o valor
Algarismos componentes de um número assumem valores diferentes dependendo da posição relativa no número. O valor total é a soma dos valores relativos.
Base: quantidade de algarismos disponíveis em um dado sistema de numeração.

• base 10
• base 2
• base 8
• base 16

Número 2313 na base 10.
Cada algarismo possui um valor correspondente dependendo da posição:
3 = 3 x 10 ⁰
10 = 1 x 10 ¹
300 = 3 x 10 ²
2000 = 2 x 10 ³
2000 + 300 + 10 + 3= 2313
N=(d_n-1d_n-2d_n-3...d₁d₀)
d=algarismo do número
n-1, n-2, n-3, ..., 1, 0= posição de cada algarismo
b=base
n=número de dígitos
N=d_n-1x b^n-1+d_n-2x b^n-2+...d₁x b¹+d₀x b⁰
N=5642
n=4 d_n-1=d₃=5; d₂=6; d₁=4; d₀=2;
N=5 x 10 ³+6x 10² + 4 x 10 ¹ + 2 x 10 ⁰= 5000 + 600 + 40 + 2= 5642₁₀

Números fracionários:

N=d_n-1x b^n-1+d_n-2x b^n-2+...d₁x b¹+d₀x b⁰ +d_-1x b^-1+d_-2x b^-2+...d_-mx b^-m
Exemplo: 59,21 = 5 x 10 ¹+ 9 x 10 ⁰ + 2 x 10 ^-1 + 1 x 10 ^-2 = 50 + 9 +0,2 + 0,01= 59,21
Exemplo: 33,5 = 3 x 10 ¹+ 3 x 10 ⁰ + 5 x 10 ^-1 = 30 + 3 +0,5 = 33,5

Base 2 e potência de 2

Quanto menor a base, mais dígitos são necessários e pior a visualização, por isso utilizam-se potências de 2. Base 8 (octal) ou 16 (hexadecimal).
(10111)₂=1x2⁴+0x2³+1x2²+1x2¹+1x2⁰=23
(312)₅=3x5²+1x5¹+2x5⁰=82
(130)₈=1x8²+3x8²+0x8⁰=88
Número máximo de algarismos diferentes em 1 base é igual ao valor da base:

• base 10: 10 dígitos - 0 a 9
• base 2: 2 dígitos - 0 a 1
• base 16 16 dígitos- 0 a 9, A, B, C, D, E, F

Base hexadecimal: (12BC)₁₆= 1x16³+2x16²+11x16¹+12x16⁰=1x4096+2x256+11x16+12=4096+512+176+12=4796₁₀

Base 10	Base 2	Base 8	Base 16
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F
16	10000	20	10
17	10001	21	11

Cada dígito octal corresponde a combinação de 3 dígitos binários
8=2³
N=d₈x 2⁸+d₇x 2⁷+...+d₂x 2³+d₁x 2¹+d₀x 2⁰
Para converter da base 2 para 8, divide-se o número em grupos de 3 bits da direita para a esquerda e acha-se o dígito octal equivalente:
Exemplo: (111 010 111)₂=(727)₈
Exemplo: (1 010 011 101)₂=(1235)₈
Para converter da base 8 para 2, substitui-se cada dígito na base 8 pelo grupo de 3 bits equivalente na base 2:
Exemplo: (357)₈=(011 101 111)₂=(11101111)₂
Exemplo: (765)₈=(111 110 101)₂
Conversão entre as bases 2 e 16
Cada dígito hexadecimal corresponde a combinação de 4 dígitos binários
16=2⁴
N=d₈x 2⁸+d₇x 2⁷+...+d₂x 2³+d₁x 2¹+d₀x 2⁰
Para converter da base 2 para 16 agrupam-se os dígitos em grupos de 4 e encontra-se dígito correspondente na base 16.
Exemplo: (10 1101 1011)₂=(2DB)₁₆
Exemplo: (10 0111 0011 1101)₂=(273D)₁₆
Para converter da base 16 para base 2, encontra-se o grupo de 4 dígitos na base 2 correspondente ao dígito na base 16.
Exemplo: (316)₁₆=(0011 0001 0110)₂
Exemplo: (B10)₁₆=(1011 0001 0000)₂
Para converter da base 8 para 16, converte para base 2 e depois para 16.
Exemplo: (3174)₈=(011 001 111 100)₂=(67C)₁₆
Exemplo: (2E7A)₁₆=(0010 1110 0111 1010)₂=(27172)₈

Conversão de base B para base 10.

N=(d_n-1d_n-2d_n-3...d₁d₀)
N=d_n-1x b^n-1+d_n-2x b^n-2+...d₁x b¹+d₀x b⁰
Exemplo: 1110010₂
2⁶+2⁵+2⁴+2¹=64+32+16+2=114
Exemplo: 32₈
3x 8¹+2 x 8⁰=26
Exemplo: 2A2₁₆
2x16²+10 x 16¹+2x16⁰=512+160+2=674

Conversão de números decimais para base B

Conversão de números inteiros
N={[(d_n-1 x b + d_n-2) x b + d_n-3] x b + ... + d₁} x b + d₀
N=N₀=N₁xb+d₀
N₁=N₂xb+d₁
N₂=N₃xb+d₂
N_n-1=d_n-1
N=N₀=72351=N₁xb+d₀=7235x10+1 -> d₀=1
N₁=7235=N₂xb+d₁=723 x 10 +5 -> d₁=5
N₂=723=N₃xb+d₂=72x10+3 -> d₂=3
N₃=72=N₄xb+d₃=7x10+2 -> d₃=2
N₄=7 -> d₄=7
Como por definição d_i é maior que 0 e menor que a base B, ele pode ser obtido dividindo-se de forma inteira N_i pela base B e o resto da divisão será o algarismo desejado.
Algoritmo básico:

1. i=0
2. N_i=N
3. enquanto N_i diferente de 0
• d_i=resto da divisão de N_i por B
• N_i+1=quociente de N_i por B
• i=i+1

Exemplo: Converter os números abaixo na base 10 para base 2
5/2=2, sobra 1, logo d₀=1
2/2=1, sobra 0, logo d₁=0
1/2=0, sobra 1, logo d₂=1
5₂=101₂
183/2=91, sobra 1, logo d₀=1
91/2=45, sobra 1, logo d₁=1
45/2=22, sobra 1, logo d₂=1
22/2=11, sobra 0, logo d₃=0
11/2=5, sobra 1, logo d₄=1
5/2=2, sobra 1, logo d₅=1
2/2=1, sobra 0, logo d₆=0
1/2=0, sobra 1, logo d₇=1
183₁₀=10110111₂
2321/2=1160, sobra 1, logo d₀=1
1160/2=580, sobra 0, logo d₁=0
580/2=290, sobra 0, logo d₂=0
290/2=145, sobra 0, logo d₃=0
145/2=72, sobra 1, logo d₄=1
72/2=36, sobra 0, logo d₅=0
36/2=18, sobra 0, logo d₆=0
18/2=9, sobra 0, logo d₇=0
9/2=4, sobra 1, logo d₈=1
4/2=2, sobra 0, logo d₉=0
2/2=1, sobra 0, logo d₁₀=0
1/2=0, sobra 1, logo d₁₁=1
2321₁₀=100100010001₂

Conversão de números fracionários

N=d_-1x b^-1+d_-2x b^-2+...d_-mx b^-m
Algoritmo:

1. i = -1
2. N^´ = N x b
3. d_i = parte inteira de N^´
4. enquanto parte fracionária de N^´ # 0 e número de bits <= m
• N^´ = parte fracionária de N^´ x b
• i = i-1;
• d_i = parte inteira de N^´

Exemplo:
0,7265625 x 2 = 1,453125 -> d_-1=1
0,453125 x 2 = 0,90625 -> d_-2=0
0,90625 x 2 = 1,8125 -> d_-3=1
0,8125 x 2 = 1,625 -> d_-4=1
0,625 x 2 = 1,25 -> d_-5=1
0,25 x 2 = 0,5 -> d_-6=0
0,5 x 2 = 1,0 -> d_-7=1
0,7265625=(0,1011101)₂
Exemplo:
0,46 x 2 = 0,92 -> d_-1=0
0,92 x 2 = 1,84 -> d_-2=1
0,84 x 2 = 1,68 -> d_-3=1
0,68 x 2 = 1,36 -> d_-4=1
0,36 x 2 = 0,72 -> d_-5=0
0,72 x 2 = 1,44 -> d_-6=1
0,44 x 2 = 0,88 -> d_-7=0
0,46 = 0,0111010₂